Dette er nettversjonen av en
artikkel presentert som et verksted for lærere på
Bridges
2004
Sammendrag
Sju prosjekter med papirkonstruksjoner som gir elever og
studenter erfaring i å utforske egenskaper og sammenhenger mellom
to-dimensjonale og tre-dimensjonale geometriske
figurer.
Smøyepolygonmodeller basert på
kvadrater, trekanter, pentagoner og dekagoner.
Introduksjon
Denne
aktiviteten består av sju vakre konstruksjoner som er gøy og relativ
lette å lage, man bare klipper ut delene i papir og smøyer dem sammen. Flere
matematiske ferdigheter utvikles, knyttet til geometriske strukturer, fargemønstre og
konkret og mental visualisering. Jeg har funnet at disse er gode
klasseromsaktiviteter for elever på mellom-/ungdomstrinnet, videregående
skole og studenter på universitet og høgskole. Videre fungerer disse
aktivitetene bra som team-building prosjekter når modellene settes sammen av grupper
på to eller tre elever/studenter. Aktivitetene motiverer til samarbeid og matematisk
kommunikasjon.
Hver "smøye-polygon" modell er laget av
like kopier av ett enkelt regulært polygon (e.g. kun kvadrater eller kun trekanter), med hakk klippet på velvalgte steder. Jeg lager dem av
ark i farget tykt papir/kartong, ved enkelt og greit å kopiere malen på arkene. I de fleste
tilfellene er tape og lim unødvendig hvis du bruker tykt papir/kartong (eks 160
g papir), men det kan være nødvendig å bruke en liten mengde lim på
hjørnene eller en bit tape på innsiden for å holde bitene sammen. Å la
hjørnene møtes nøyaktig er nøkkelen til å få et nett geometrisk
inntrykk.
Smøyepolygonmodeller laget av
heksagoner, dekagrammer og pentagrammer exagons, decagrams, and
pentagrams
Differensierings instruksjoner.
De sju modellene er vist over i en tilnærmet økende vanskelighetsgrad ved montering. Jeg
foreslår å starte med kvadratene. Instruksjonene for monteringen av denne
modellen finnes under, og monteringen av de øvrige modellende er tilsvarende. En
strategi er å la alle i klassen lage modellen med kvadratene, og så la de
ulike gruppene jobbe med hver sin av de andre modellene. Gi de vanskelige modellene til
grupper som ønsker større utfordringer. Når resultatene stilles opp samlet, kan
de bli en vakker
utstilling. En uro jeg lagde med alle sju modellene var utstilt under
konferansen 1997 Math and Art conference i SUNY Albany, NY,
og har siden vært å se på Goudreau Museum of Mathematics, i New Hyde Park, New York.
Montering av Smøyepolygonmodellen av 30
kvadrater
Kopier og klipp ut. Bruk fem ark tykt papir av
fem ulike farger til en modell. (Vanlig 80g papir er for tynt. Bruk tykkere
papir som fortsatt er tynt nok til at arkene kan sno seg gjennom rullene på kopimaskinen
eller laserskriveren, f.eks 120-180g. De fleste kopikontorer har et utvalg
farger de kan kopiere på for deg, eller du kan kjøpe inn papir og bruke på egen
kopimaskin/printer.) Kopier malen med kvadrater (under) over på de fem arkene.
Malen kan skaleres opp eller ned etter hvilken papirstørrelse som brukes, det
essensielle er at alle de tretti kvadratene er i samme størrelse. Hvis bare en
farge benyttes, vil modellen fortsatt fungere geometrisk, men mye av
skjønnheten forsvinner.
Klipp kvadratene ut etter strekene med saks.
Kutt hakkene i ett kvadrat om gangen, ikke legg flere kvadrater sammen for å
lage flere hakk med ett klipp, det blir for unøyaktig. Å være nøye teller!
Du trenger ikke klippe ut alle bitene før du begynner å sette dem sammen. Du
kan starte monteringen så snart du har klippet ut og klippet hakk i minst ett
kvadrat i hver farge.
Når du fortsetter, husk på følgende:
- kvadratene er plane; du må bøye dem midlertidig under monteringen, men
til slutt skal de være flate;
- når to kvadrater er smøyet helt sammen, vil to av kantene til det ene
kvadratet krysse to av kantene til det andre (et kryss kommer i hver side
av hakkene som smøyes sammen); og
- hvert kvadrat vil gå sammen med fire kvadrater i de fire andre fargene,
e.g. et blått kvadrat vil aldri gå sammen med et annet blått
kvadrat.
En syklus på fem. Legg
merke til at det er to lange og to korte hakk i hvert kvadrat. Du smøyer alltid
et kort hakk inn på et langt hakk. Begynn med å sette sammen to kvadrater av
ulik farge. Se på det første bildet over og legg merke til det femkantede
hullet i sentrum omgitt av fem kvadrater, og hvordan de to kvadratene du
nettopp satte sammen tilsvarer to av kvadratene rundt hullet. Fortsett
mønsteret og legg til et tredje, fjerde og femte kvadrat. Sett sammen det
første og det femte kvadratet for å fullføre syklusen rundt det femkantede
hullet. Pass på at alle hjørnene til kvadratene alltid er på utsiden av konstruksjonen. Et vanlig
problem er at hakkene ikke er helt inn i hverandre; du oppdager dette ved at
kantene på kvadratene ikke krysser.
Treveishjørner. På dette
stadiet er konstruksjonen fleksibel og kvadratene kan beveges i forhold til hverandre,
og kan ha en tendens til å falle fra hverandre. Hvis dette skjer er det bare å sette kvadratene
sammen igjen for å få den femkantede åpningen tilbake. Kvadratene låses sammen av treveishjørnene, som er neste steg.
For å se hvor disse er, husk at av kvadratets fire sider vil to (motstående)
være mot femkantede åpninger og de to gjenværende (motsatte) sidene vil være
mot et treveishjørne. Studer dette på bildet over.
For å lage
treveishjørnet mellom kvadratene A og C, må du velge et kvadrat C og smøye
det inn på både A og B. Første oppgave er å bestemme hvilken farge C skal
ha. Knepet er å se fra sammenkoblingen mellom A og B og over på den andre siden av femkantshullet A og B grenser
mot, og se hvilken farge kvadratet der har; velg et kvadrat i samme farge for C.
Neste steg er å lage treveishjørnet symmetrisk med en nett liten trekant i midten. Knepet
her er å først smøye C på A og B med en slags rotasjon av C, så flette de små spissene på A, B og C
sammen slik at de går om hverandre og lager en
slags spiral, ved at de bøyes midlertidig. Dette er lettere å gjøre enn å forklare skriftlig og normalt
vil noen elever finne ut hvordan dette gjøres og vise det til sine
medelever.
Fullfør konstruksjonen. Straks dette knepet
mestres går det greit å lage det andre treveishjørne, det tredje osv, slik at
alle de fem første kvadratene er låst i forhold til hverandre. I hvert
tilfelle bestemmes fargen på det nye kvadratet ved å se på kvadratet på den
andre siden av den femkantede åpningen. Når alle de fem opprinnelige
kvadratene er låst på denne måten har du brukt til sammen ti kvadrater, så
du er en tredjedels ferdig. For å fullføre konstruksjonen må du se
at du har flere ukomplette femkantede hull, velg ett av disse som du gjør
ferdig og låser på samme måte som over, til alle tretti kvadratene er brukt.
Sjekk nøye underveis at hver åpning har fem kvadrater i fem farger rundt seg, og at hvert
kvadrat går sammen med fire kvadrater i de fire andre fargene. Hvis
sammensetningen er rett, vil de seks kvadratene i samme farge utgjøre en
eksplodert kube.
Montering av de andre "smøyepolygon" modellene
Liknende
teknikk brukes for å sette sammen de andre smøyepolygon modellene. Hver modell
kan sees som et sett av polygoner som skjærer hverandre, og hvor hakkene lar
planene av papir gå gjennom hverandre. En utfordring er å velge farger slik at
modellen blir symmetrisk. En annen utfordring er teknikken for å sette sammen
de mer kompliserte treveishjørnene med større deler som må bøyes rundt hverandre for så å
rettes ut igjen. Bildene over vil være til hjelp. For hver modell vil kantene
lage interessante mønstre, ofte femtaggede stjerner.
Modellene med
trekanter og sekskanter består begge av 20 deler - fire i hver farge. Disse har
ikke treveishjørner så de er lettere av den grunn, men de faller også lett
fra hverandre. Jeg foreslår å bruke litt tape på innsiden for å holde delene
sammen, eller litt lim på hjørnene. Hvis disse settes sammen rett, vil
de fire delene av en farge ligge i planene til et regulært tetraeder. Modellen
av trekanter er spesielt interessant da du kan finne fem kuber blant kantene;
hvis du ikke ser kubbene kan den dukke opp hvis du rotere modellen langsomt.
Alle
de
fire gjenstående modellene består av 12 deler. Lag to deler i hver av
seks farger for hver av modellene, og sett dem sammen slik at den motstående
delen alltid er i samme farge. Hver del vil berøre fem naboer i de fem andre
fargene. Den mest vanskelige er modellen med fem pentagrammer fordi det er to
hakk i segmentene hvor to stjerner går gjennom hverandre, i stedet for bare
ett.
Ideer til klasserommet for nivåene fra mellomtrinnet til
arkitekturdesign
I klasserommet kan modellene knyttes opp mot
regulære polyedre og brukes til å utforske telling eller symmetri. Med
modellen av 30 kvadrater kan kan du for eksempel spørre: Hvor mange
treveishjørener er det? (Svar: 20, de korresponderer med de 20 sidene til et
regulært ikosaeder. En måte å telle dem på er basert på det faktum at hvert av de 30
kvadratene er i kontakt med 2 treveishjørner og det trengs tre kvadrater for
å lage et.
30 * 2 / 3 gir 20.) Hvor mange femkantede åpninger er det? (Svar: 12, tilsvarer
de 12 sidene av et regulært dodekaeder, regnet ut på tilsvarende måte;
30 * 2 / 5.) Hvor mange 5-foldige rotasjonssymmetriakser er det? (Svar: 6. En går
gjennom hvert av parene med motstående åpninger.)
Et mulig
videregående prosjekt er å la elevene lage sine egne maler ved hjelp av enten linjal og
passer, eller et tegneprogram på datamaskinen. Nøkkelen er i de fleste
tilfellene å starte med et regulært polygon og finne punkter som deler sidene
inn i det gyllne snitt. (Du kan utlede dette fra gyllne snitt egenskapene til en
femtagget stjerne som kantene former.) Hakkene hvor delene smøyes sammen må
tilsvare lengden av skjæringa mellom delene.
Hvis man ønsker
det, kan øvelsene med modellene i melonstørrelse følges av modeller i en mye
større skala. Store papp versjoner med en diameter på ca fem fot (1,5 meter), er laget av
studenter på et arkitekturdesign kurs på universitetsnivå, undervist av professor Prof. Patricia
Muñoz ved University of Buenos Aires.
På videregående- eller
universitets/høgskolenivå kan modellene brukes til å utforske temaer innen
kobinatorikk, som følgende om modellen av 30 kvadrater: Hvor mange forskjellige
sykluser av fem farger er mulige rundt en femkantet åpning? (Svar: 24—Dette
er 5!/5 fordi de 5! permutasjonene av fargene danner grupper på 5 som er
sykliske rotasjoner (av hverandre).) Hvor mange forskjellige sykluser finnes i en modell? (Svar:
12—en for hver av de tolv åpningene.) Så, hvor mange forskjellig fargede
modeller er det i klasserommet? (Svar: 2—Hvis rekkefølgen av fargene på den
førsteåpningen velges tilfeldig, vil omtrent halve klassen ha ett
fargemønster og resten ha det andre.) Hva bestemmer hvilke 12 av de 24 mulige
syklene som finnes i samme modell? (Svar: "Like" permutasjoner av de
fem fargene er i samme modell)
Malene under kan kopieres for bruk i
undervisning. Kreative lærere kan uten tvil bruke disse konstruksjonene i
klasser på ulike nivåer, på måter jeg aldri ville komme på. Jeg er
interessert i tilbakemeldinger med erfaringer, kommentarer og forslag (det samme
ønsker oversetter).
Referanser
[1] Charles Butler beskrev
modellene med trekanter og kvadrater for meg, de øvrige har jeg designet som et
forlengelse av hans ide, basert på ulike uniforme polyedre.
[2] Jeg har laget 3D “virtual reality” modeller av alle sju
modeller, tilgjengelig online på http://www.georgehart.com Med den
rette “plug-in” viewer, kan man se disse modellene rotere i tre
dimensjoner på browseren. Dette gir en bedre ide om strukturen enn 2D bildene
over, og kan være en bedre guide til monteringen.
Mal
for modell av kvadrater — lag fem kopier for en modell
Mal for modell av trekanter — lag fem kopier for to modeller
Mal for modell av
pentagoner — lag seks kopier for en modell
Mal for modell av dekagoner — lag
seks kopier for 1,5 modeller
Mal
for modell av heksagoner — lag ti kopier for en modell
Mal for modell av dekagrammer — lag seks kopier for en
modell
Mal for modell av
pentagrammer — lag seks kopier for en modell
